На каждой стороне и каждой диагонали 20-угольника находится по лампочке, а в каждой вершине - по выключателю. Каждый выключатель контролирует лампочки, находящиеся на сторонах и диагоналях, выходящих из этой вершины: при переключении выключателя все горящие лампочки, которые он контролирует, гаснут, а все погасшие - включаются. Переключать два выключателя одновременно нельзя. Сейчас все лампочки не горят. Какое наибольшее количество лампочек можно сделать одновременно горящими, пользуясь выключателями?

Пусть нам удалось включить наибольшее возможное количество лампочек. Рассмотрим конфигурацию лампочек и выключателей, которая получилась в результате переключений. Разобьем все выключатели на группы A и B. В первой группе находятся выключатели, которые переключали нечетное число раз, во второй находятся переключатели, переключенные четное число раз (или вообще не переключавшиеся). Рассмотрим произвольную лампочку x между двумя выключателями из A. Суммарно выключатели, смежные с этой лампочкой, переключались четное число раз (сумма двух нечетных чисел), поэтому в итоге лампочка окажется выключенной. Аналогично, рассмотрим произвольную лампочку y между двумя выключателями из B. Два смежных с ней выключателя также переключались четное число раз, поэтому лампочка в итоге тоже останется выключенной. Теперь рассмотрим произвольную лампочку z между двумя выключателями из разных групп. Поскольку суммарно смежные с ней выключатели переключателись нечетное число раз, эта лампочка будет гореть. Таким образом, гореть будут те и только те лампочки, которые находятся между переключателями из разных групп.

Пусть в группе A находится 10-k выключателей, а в группе B 10+k. Тогда существует (10-k) (10+k) лампочек, на концах которых находятся выключатели из разных групп. Таким образом, достаточно найти наибольшее возможное значение выражения (10-k) (10+k) при условии 0≤k≤10. Очевидно, (10-k) (10+k) = 100-k ²≤100. Таким образом, одновременно могут гореть не более 100 лампочек.

Примечание: логичнее рассмотреть группы из k и 20-k лампочек, но тогда для нахождения максимального значения нужно брать производную, что выходит за рамки 9 класса.