Провести полное исследование функции и построить ее график : y=x^3-4x^2+3x

1) область определения

2) честность, нечетность

3) промежутки монотонности

4) точки пересечения с осями

5) асимптоты

6) интервалы впуклости и выпуклости

1) Обл. опред. (-беск.; + беск.)

2) ни четная, ни нечетная, т. к. f (-x) !=f (x),! = - знак "не равен"

3) найдем первую производную:

y' = 3x^2 - 8x + 3 приравняем к нулю и решим уравнение

3x^2 - 8x + 3 = 0

D = (-8) ^2 - 4*3*3=64-36=28

x1 = (8 + корень (28)) / 2*3 (примерно равно 2.22)

x2 = (8 - корень (28)) / 2*3 (примерно равно 0.452)

в точках x1 и x2 - функция сменяет свою монотонность, т. е. это точки экстремума.

Подставим в первую производную значение 0 (левый интервал монотонности) f' (0) = 3

Подставим в первую производную значение 1 (средний интервал монотонности) f' (1) = - 2

Подставим в первую производную значение 3 (правый интервал монотонности) f' (3) = 6

т. е. функция возрастает на (-беск.; 8 - корень (28)) / 2*3) U (8 + корень (28)) / 2*3; + беск.), а убывает на (-беск.; 8 - корень (28)) / 2*3; 8 + корень (28)) / 2*3; + беск.)

4) Точки пересечения с осями: приравняем функцию к нулю:

x^3-4x^2+3x=0

x (x^2 - 4x + 3) = 0

x=0 или x^2 - 4x + 3=0

D = (-4) ^2 - 4*1*3=4

x1 = (4 - 2) / 2=1

x2 = (4+2) / 2=3

x=0, x=1, x=3 - точки пересечения с осью ОХ.

Чтобы найти точки пересечения с осью ОУ, подставим в функцию вместо х нули:

f (0) = 0^3-4*0^2+3*0=0

y=0 точка пересечения с осью ОУ.

5) Асимптот нет т. к. пределы при х-->+-беск. равны + - беск.

6) найдем вторую производную:

y'' = 6x - 8

6 х-8=0

x=8/6=4/3 - точка перегиба

найдем f'' (1) = - 2 (левый интервал)

найдем f'' (2) = 4 (правый интервал)

видим что на этом интервале возрастание сменяется убыванием, значет, x=4/3 - точка выпуклости