Найти промежуток возрастания функции y=x^4-4/3x^3-1

1) Находим первую производную функции:

y' = - 3x²+12x+36

Приравниваем ее к нулю:

-3x²+12x+36 = 0

x₁ = - 2

x₂ = 6

Вычисляем значения функции на концах отрезка

f (-2) = - 33

f (6) = 223

f (-3) = - 20

f (3) = 142

Ответ: fmin = - 33, fmax = 142

2)

a) 1. Находим интервалы возрастания и убывания.

Первая производная равна

f' (x) = - 6x+12

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

- 6x+12 = 0

Откуда:

x₁ = 2

(-∞; 2) f' (x) > 0 функция возрастает

(2; + ∞) f' (x) < 0 функция убывает

В окрестности точки x = 2 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 2 - точка максимума.

б) 1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

f' (x) = - 12x2+12x

или

f' (x) = 12x (-x+1)

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

12x (-x+1) = 0

Откуда:

x1 = 0

x2 = 1

(-∞; 0) f' (x) < 0 функция убывает

(0; 1) f' (x) > 0 функция возрастает

(1; + ∞) f' (x) < 0 функция убывает

В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 - точка минимума. В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 1 - точка максимума.

3. Исследуйте функцию с помощью производной f (x) = 2x^2-3x-1

1. D (y) = R

2. Чётность и не чётность:

f (-x) = 2 (-x) ² - 3 * (-x) - 1 = 2x² + 3x - 1 функция поменяла знак частично. Значит она ни чётная ни нечётная

3. Найдём наименьшее и наибольшее значение функции

Находим первую производную функции:

y' = 4x-3

Приравниваем ее к нулю:

4x-3 = 0

x₁ = 3/4

Вычисляем значения функции

f (3/4) = - 17/8

Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:

y'' = 4

Вычисляем:

y'' (3/4) = 4>0 - значит точка x = 3/4 точка минимума функции.

4. Найдём промежутки возрастания и убывания функции:

1. Находим интервалы возрастания и убывания.

Первая производная равна

f' (x) = 4x-3

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

4x-3 = 0

Откуда:

x₁ = 3/4

(-∞; 3/4) f' (x) < 0 функция убывает

(3/4; + ∞) f' (x) > 0 функция возрастает

В окрестности точки x = 3/4 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 3/4 - точка минимума