При каких значениях t уравнение x^2 + (t+2) x+8x+1>0 удовлетворяется при всех значениях x

x^2 + (t+10) x+1>0; Это парабола, ветви которой направлены верх. Надо найти при каком t парабола будет выше оси 0x то есть не будет иметь вещественных корней.

Квадратное уравнение не имеет вещественных корней, если дискриминант меньше нуля

D<0;

D = (t+10) ^2-4<0;

(t+10) ^2<4;

(t+10) ^2<2^2; так как степени одинаковые, значит левое основание должно быть меньше правого:

t+10<2;

t<-8;

Значит при любом t<-8, неравенство будет верным при любых значениях x.

X^2 + (t+2+8) x+1>0 при D<0,

D = (t+10) ^2-4*1*1=t^2+20t+100-4=t^2+20t+96<0,

D1=100-96=4,

t1=-10+2=-8,

t2=-10-2=-12, ветви вверх; f (t) <0 при t (-12; -8)