Юрий разрезал клетчатую доску 97 на 25 на N прямоугольников 1 на 3 и M прямоугольников 1 на 5. Какое наименьшее значение может принимать выражение | M-N |?

97*25 = 2425 - площадь доски

1*3 = 3 - площадь N прямоугольников.

1*5 = 5 - площадь M прямоугольников.

3N+5M = 2425

Пусть |M-N| = x, причём x - минимально возможное. Тогда

1) M-N = x или 2) M-N = - x

1) M = N+x

3N+5N+5x = 2425

8N = 2425-5x

Нужно подобрать такое минимальное x, чтобы число 2425-5x было кратным 8. Число делится на 8, если три последних его цифры нули или образуют число, которое делится на 8. Ближайшее число вида 2425-5x, которое делится на 8 - число 2400. Тогда x = 5.

8N = 2425-5*5

8N = 2425-25

8N = 2400

N = 300

Тогда M = 300+5 = 305, а |M-N| = |305-300| = |5| = 5.

Проверим: 300*3+305*5 = 900+1525 = 2425.

2) M = N-x

3N+5N-5x = 2425

8N = 2425+5x

Ближайшее число, которое делится на 8 - число 2440. Тогда x = 3:

8N = 2425+5*3

8N = 2425+15

8N = 2440

N = 305

Тогда M = 305-5 = 300, а |M-N| = |300-305| = |-5| = 5.

Проверим: 305*3+300*5 = 915+1500 = 2415 - не подходит.

Значит, н аименьшее значение, которое может принимать выражение |M-N|, равно 5 при M = 305, N = 300.