Найдите f (x), если f (x+2) + f (x-1) = 2 (x^2+7)

Поскольку сумма f (x+2) + f (x-1) является многочленом 2 степени, то предположим, что один из видов функции f (x) является тоже многочлен 2 степени вида ax^2+bx+c.

Тогда f (x+2) = a (x+2) ^2+b (x+2) + c = ax^2 + x (4a+b) + 4a+2b+c,

f (x-1) = a (x-1) ^2+b (x-1) + c = ax^2 + x (b-2a) + a-b+c.

То есть, с одной стороны, f (x+2) + f (x-1) = 2ax^2 + x (2a+2b) + 5a+b+2c.

С другой стороны, f (x+2) + f (x-1) = 2x^2+14.

Так как равенство должно быть тождеством, то приравняем коэффициенты:

2a=2

2a+2b=0

5a+b+2c=14

Отсюда a=1, b=-2/2=-1, c = (14-5*1 - (-1)) / 2=5.

Таким образом, одним из видов исходной функции является f (x) = x^2-x+5.