Полное исследование функции и ее график y=x^2 / (x^2+5)

1) Область определения функции. Точки разрыва функции.

2) Четность или нечетность функции.

y (-x) = y (x), четная функция

3) Периодичность функции.

4) Точки пересечения кривой с осями координат.

Пересечение с осью 0Y

x=0, y=0

Пересечение с осью 0X

y=0

x = 0

5) Исследование на экстремум.

y = x^2 / (x^2+5)

Поскольку f (-x) = f (x), то функция является четной.

1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

или

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

10x = 0

Откуда:

x1 = 0

(-∞; 0) (0; + ∞) f' (x) 0 функция убываетфункция возрастает

В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 - точка минимума.

2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.

или

Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.

Откуда точки перегиба:

x1 = - 1.291

f'' (x) 0f'' (x) < 0 функция выпуклафункция вогнутафункция выпукла

6) Асимптоты кривой.

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:

Находим коэффициент k:

Находим коэффициент b:

Получаем уравнение горизонтальной асимптоты:

y = 1