В колонию из 100 черных бактерий попадает белая бактерия. Каждую секунду одна белая бактерия уничтожает одну чёрную бактерию, после чего все бактерии делятся надвое. Докажите, что рано или поздно все чёрные бактерии будут уничтожены, и выясните, в какой момент это произойдёт.

Вначале составим функцию, которая определяет количество белых бактерий в зависимости от секунд: после первой секунды одна белая съест одну черную, и они удвоятся, т. е. 4; после второй секунды 4 белых съедят 4 черных и они удвоятся, т. е. 16; после 3-х секунд - 64 белых и т. д. Т. е. количество белых - функция b (k) = 2^ (2k), где k-секунды.

Теперь составим функцию, которая определяет количество черных бактерий в зависимости от секунд k:

после первой секунды k=1: (100-b (k-1)) * 2=2*100-2*b (1-1) = 2*100-2*b (0) =

2*100-2; где b (k-1) - это количество белых после предыдущей секунды.

После второй секунды k=2: ((2*100-2) - b (1)) * 2=4*100-4-2*2 ²=4*100-12=

2² * 100-3*2²

После 3-х секунд k=3: ((4*100-12) - b (2)) * 2 = ((4*100-12) - 16) * 2=

8*100-56=2 ³ * 100-7*2³ и т. д.

Т. е. количество черных-это функция:

f (k) = 100*2^k - ((2^k) - 1) * 2^k = (101-2^k) * 2^k. где k-секунды.

найдем, начиная с какой секунды f (k) <0, т. е. все чёрные бактерии будут уничтожены:

(101-2^k) * 2^k<0, 101-2^k<0, 1016, 2^6=64, 2^7=128

Значит на 7-й секунде все чёрные бактерии будут уничтожены.