При каких значеничх параметра а минимум функции f (x) = 2ax^2+8ax+a^2-3 равен 6?

Дана функция, которая является параболой. Минимум у параболы - когда её ветви направлены вверх, а коэффициент перед x^2 положительный.

Вершина параболы считается по формуле:

x = - b / 2a

У нашей функции a = 2a; b = 8a (обозначения совпали, не обращайте внимание). Считаем x = - 8a / (2*2a) = - 2.

Итак, при x = - 2 у параболы будет минимум, если коэффициент перед x^2 положительный.

Подставляем найденный икс в функцию и приравниваем 6. И решае полученное уравнение относительно a:

f (-2) = 2a * (-2) ^2 + 8a * (-2) + a^2 - 3 = - 8a + a^2 - 3 = 6

Или a^2 - 8a - 9 = 0

Решаем, как обычно, квадратное уравнение и поучаем: a1 = - 1; a2 = 9

Из двух значений оставляем только второе, т. к. при отрицательном a = - 1 коэффициент перед x^2 равен (-2), а значит, ветви параболы направлены вниз, а её вершина является максимумом, а не минимумом.

Ответ: при a = 9