Доказать, что если каждое из двух натуральных чисел не делится на 3, то модуль разности квадратов этих чисел делится на 3

Пусть даны два натуральных числа A и B. Тогда по условию:

A = 3p+r1;

B = 3q+r2;

r1 и r2 могут принимать значения 1 и/или 2, и только (т. е. других значений, кроме 1, 2 принимать не могут).

Модуль разности квадратов этих чисел делится на 3, если разность квадратов делится на 3. (Значение и модуль этого значения отличаются лишь знаком, либо же вообще не отличаются).

A^2 - B^2 = (3p+r1) ^2 - (3q+r2) ^2 = (9*p^2) + 6p*r1 + r1^2 - (9*q^2) -

- 6q*r2 - r2^2 = 3 * ( ...) + r1^2 - r2^2.

Посмотрим какие значения может принимать R = (r1^2 - r2^2), при условиях данных в задаче. Для этого составим таблицу.

r1=1; r2=1; R=0;

r1=1; r2=2; R=1 - 4 = - 3;

r1=2; r2=1; R=4-1=3;

r1=2; r2=2; R = 4-4 = 0;

Во всех случаях (при условии задачи) R делится нацело на 3, т. е. R=3*r; поэтому

A^2 - B^2 = 3 * ( ...) + 3*r = 3 * ( ... + r).

очевидно делится на 3.