Решите уравнение:

4^х-40*2^х+256=0

4^x = (2^2) ^x = (2^x) ^2

Сделаем замену t = 2^x, при этом t > 0.

t^2 - 40t + 256 = 0

Получили обычное квадратное уравнение. Выделим полный квадрат:

t^2 - 2 * 20t + 400 - 400 + 256 = 0

(t - 20) ^2 - 144 = 0

(t - 20) ^2 - 12^2 = 0

Разложим по формуле "разность квадратов":

(t - 20 + 12) (t - 20 - 12) = 0

(t - 8) (t - 32) = 0

Произведение равно нулю, если равен нулю хотя бы один сомножитель, поэтому

t = 8 или t = 32

t = 2^3 или t = 2^5

Возвращаемся к исходной переменной:

2^x = 2^3 или 2^x = 2^5

x = 3 или x = 5.

Ответ. x = 3 или x = 5.