Существуютли такие х у что нок (х у) + нод (х у) + х+у=1999

1999 - простое число.

Понятно, что левая часть уравнения должна делится на НОД (x, y), тогда и левая часть, то есть 1999 должно делится на НОД (x, y). Но 1999 это простое число, его делители это 1 и 1999. Понятно, что 1999≠НОД (x, y),

поскольку НОД (x, y) ≤x, НОД (x, y) ≤y, а из уравнения следует, что x<1999, и y<1999. Поэтому НОД (x, y) = 1. Тогда x и y взаимно простые, тогда НОК (x, y) = x*y. То есть получаем уравнение:

1+x*y+x+y = 1999, причем икс и игрек взаимно простые.

Преобразуем левую часть последнего уравнения

... = x*y+x + y + 1 = x * (y+1) + (y+1) = (y+1) * (x+1) = 1999.

Если x и y - целые, тогда и (y+1) и (x+1) - целые. Как я уже говорил, 1999 - это простое число. Оно единственным образом раскладывается на множители (с точностью до порядка сомножителей) 1999=1999*1.

Тогда y+1 = 1999, и x+1 = 1. (или: y+1=1 и x+1=1999, но этот случай рассматривается так же как первый случай).

y = 1999-1 = 1998,

x = 1-1 = 0.

Но для таких икса и игрека НОК (0, 1998) не существует, поскольку на ноль делить нельзя.

Ответ. Не существуют.