Числа 5n-1 и n-10 делятся на простое число p. а) Найдите p. б) Докажите, что n-3 делиться на p.

А) Если исходные числа делятся на p, то и (5n - 1) - 5 * (n - 10) также делится на p, так как каждое слагаемое делится на p. Раскроем скобки, приведём подобные слагаемые:

(5n - 1) - 5 * (n - 10) = 5n - 1 - 5n + 15 = 14 = 2 * 7

Поскольку 14 должно делиться на p, то вариантов для p немного - только 2 и 7. Если бы p было равно двум, то тогда на 2 должна была бы делиться и сумма

(5n - 1) + (n - 10) = 6n - 11,

что невозможно - понятно, что это число нечетное. Итак, p = 7.

б) n - 10 делится на 7, тогда и (n - 10) + 7 = n - 3 также делится на 7, что и требовалось.