Известно, что уравнение

x^2+px+q=112

имеет два различных целых корня, причём p и q - простые числа.

Найдите наибольшее возможное значение q.

1) p = 2.

x^2 + 2x + q = 112

x^2 + 2x + 1 = 113 - q

(x + 1) ^2 = 113 - q

113 - q должно быть полным квадратом. Если q - максимально возможное, то это квадрат как можно меньшего числа. Перебираем:

113 - q = 1^2: q = 112 - не простое число

113 - q = 2^2: q = 109 - простое!

2) p > 2, тогда p - нечетно.

x^2 + px + (q - 112) = 0

По теореме Виета сумма корней равна - p, произведение равно q - 112. Сумма двух целых корней оказалась нечётной, значит, это одно чётное число и одно нечётное, поэтому их произведение чётно, значит, q чётно. Единственное чётное простое число это 2, и оно меньше 109, поэтому нас не интересует.

Ответ. 109.