Высота равностороннего треугольника, стороны которого касаются окружности, на 12 см больше, чем радиус этой окружности. Найдите высоту треугольника.

Высота это перпендикуляр, проведенный из одного из углов равностороннего треугольника к противоположной углу точке касания треугольника с окружностью. Обозначим радиус окружности через r, высоту через h. По условию h=r+12. С другой стороны r=a/2√3 = > a=2r√3, где a - сторона равностороннего треугольника. Поскольку в данном случае высота является и медианой, то из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим, что h^2 + a^2/4 = a^2 = > h^2 = 3a^2/4 = > h^2 = 3*4r^2*3/4 = > h^2 = 9r^2 = > h=3r. Значит 3r=r+12=> 2r=12=> r=6. Следовательно h=6+12=18.

Ответ: h=18.