ковш экскаватора имеет форму прямоугольного параллелепипеда без верхней крышки при каких размерах на изготовление ковша вместимостью V=3,2 м пойдет наименьшее колличество материалаесли если известно что длинна равна ширине?

Пусть длина и ширина - а, высота - h. Тогда объём ковша будет:

V = a*a*h = a^2 * h

А количество пошедшего на изготовление материала будет равно площади его поверхности минус площадь верха, или другими словами - площадь низа плюс четыре площади боковых сторон:

S = a^2 + 4ah

Мы знаем, что V=3,2 и соответственно можем выразить h через a:

3,2 = a^2*h

h = 3,2 / a^2

Подставляем в выражение для площади:

S = a^2 + 4a * (3,2 / a^2) = a^2 + 12,8/a

Теперь надо представить, что это функция от a, и найти её минимум. В точке минимума производная будет нулевой и менять знак с минуса на плюс - значит ищем производную:

S (a) = a^2 + 12,8/a

S' (a) = 2a + 12,8 * (-1) / a^2 = 2a - 12,8/a^2

Приравнивая её к нулю, получаем:

0 = 2a - 12,8/a^2

2a = 12,8/a^2

2a^3 = 12,8

a^3 = 6,4

a = ∛6,4 = 1,86 м (приближённо)

Отсюда h = 3,2 / a^2 = 3,2/1,86^2 = 0,92 м