Найдите остаток деления от 23^34+56^67 на 9

Попробуем установить закономерность в значениях остатков от деления степеней на 9

1) степень 23

23/9=2 (5), 23²/9=529/9=58 (7), 23³=12167/9=1351 (8), если продолжить возводить 23 в степень и вычислять остатки по получится следующая повторяющаяся последовательность остатков

a (n) = {5,7,8,4,2,1,5, ... а дальше все повторяется}

a (1) = a (7) = a (13) = ...

a (n) = a (6n+1) - формула повторения

ближайшее к 34 число кратное 6 это 30, 34=6*5+4, определим какой у этой степени остаток от деления на 9 а следующие будут повторяться

a (1) = a (6*5+1) = a (31) = 5

a (2) = a (32) = 7

a (3) = a (33) = 8

a (4) = a (34) = 4

остаток от деления 23^34 на 9=4

2) аналогично рассуждая можно установить закономерность для 56^67

56/9=6 (2), 56²/9=3136/9=348 (4),56³/9=175616 (8), ...

получится повторяющаяся последовательность остатков

b (n) = {2,4,8,7,5,1,2 ... }

b (1) = b (7) = b (13), ...

b (n) = b (6n+1)

67=6*11+1

b (1) = b (6*11+1) = 2

остаток от деления 56^67 равен 2

(23^34+56^67) / 9 = (23^34/9) + (56^67/9) = x (4) + y (2) где х и у - целые части от деления степеней на 9

суммарный остаток=4+2=6

Ответ 6