Если xy+yz+zx=16 найдите найменший значение: (x+y+z) ^2

Обозначим : A=xy+yz+zx, B=x^2+y^2+z^2

По условию А=16

Заметим : (x-у) ^2 + (y-z) ^2 + (z-x) ^2=2B-2A=>0 (=> - означает больше, либо равно).

Значит наименьшее значение В=А (если оно достижимо).

(x+y+z) ^2=B+2A

Значит минимальное значение последнего выражения 3*А, т. е. 3*16=48

Теперь надо убедиться, что равенство В=А достижимо. Для этого достаточно положить х=у=z и х=4/sqrt (3). sqrt - корень квадратный.

Ответ: 48