Решите определенный интеграл

Замена √ (3x+1) = t, 3x+1 = t^2, x = (t^2-1) / 3, dx = 2t/3 dt, t (0) = 1, t (5) = 4

Int (1, 4) 2t/3*1 / (2 * (t^2-1) / 3 + t) dt = 2/3*3*Int (1, 4) t / (2t^2-2+3t) dt =

По методу неопределенных коэффициентов разложим на сумму дробей

t/[ (t+2) (2t-1) ] = A1 / (t+2) + A2 / (2t-1) = [A1 * (2t-1) + A2 * (t+2) ] / [ (t+2) (2t-1) ] =

= [t * (2A1 + A2) + (-A1 + 2A2) ] / [ (t+2) (2t-1) ]

Система

{ 2A1 + A2 = 1

{ - A1 + 2A2 = 0

{ 2A1 + A2 = 1

{ - 2A1 + 4A2 = 0

Складываем уравнения

5A2 = 1, A2 = 1/5, A1 = 2A2 = 2/5

Интеграл

2/3*3*Int (1, 4) t / (2t^2-2+3t) dt = 2*Int (1, 4) [2/5*1 / (t+2) + 1/5*1 / (2t+1) ] dt =

= 4/5*ln|t+2| + 2/5*1/2*ln|2t+1| | (1, 4) = 4/5 * (ln 6 - ln 3) + 2/5 * (ln 9 - ln 3) =

= 4/5*ln 2 - 2/5*ln 3