Сколько существует попарно неравных прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами у которых отношение площади к полупериметру равно 243?

Отношение площади к полупериметру - - это радиус вписанной окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC ABC с прямым углом CC, обозначив точки касания вписанной окружности со сторонами BC BC, AC AC, AB AB через A1 A1, B1 B1, C1 C1 соответственно. Положим x=A B1 = A C1 x=A B1 = A C1, y=B A1 = B C1 y=B A1 = B C1. Катеты при этом равны x+r x+r и y+r y+r, а гипотенуза x+y x+y, где r=243 r=243 - - радиус вписанной окружности.

Теорема Пифагора даёт (x+r) 2 + (y+r) 2 = (x+y) 2 (x+r) 2 + (y+r) 2 = (x+y) 2, что равносильно xy=xr+yr + r2 xy=xr+yr + r2, а также (x-r) (y-r) = 2 r2 = 2⋅ 310 (x-r) (y-r) = 2 r2 = 2⋅ 310. Нужно найти число решений этого уравнения в натуральных числах, где r