Пусть p - нечѐтное простое число. Докажите, что для некоторой пары различных

натуральных чисел m и n имеет место равенство 2/p = 1/n + 1/m, причем такая пара чисел

единственна (с точностью до перестановки n и m).

1/m+1/n=2/p Преобразуем: (m+n) / mn=2/p p (m+n) = 2mn 2mn-pm-pn=0 4mn-2pm-2pn=0 4mn-2pm-2pn+p^2=p^2 2m * (2n-p) - p * (2n-p) = p^2 (2m-p) * (2n-p) = p^2 Поскольку p - простое, то p^2 имеет делители + - 1; +-p; +-p^2 При этом числа (2m-p) и (2n-p) являются его делителями. То возможно лишь 2 варианта: (Без учета симметричной перестановки) 1) 2m-p=+-p 2n-p=+-p, но тогда m=n, что не удовлетворяет условию. 2) 2m-p=+-1 2n-p=+-p^2 m = (p+-1) / 2 n = (+-p^2+p) / 2 Поскольку n-натуральное, то + - p^2+p>0, что возможно, только если взять знак +. Таким образом : m = (p+1) / 2 (верно поскольку p+1 всегда четное число) n=p * (p+1) / 2 (верно аналогично m). Это решение будет единственно для любого простого числа p, что мы только что и выяснили. Можно сделать проверку, подставив в исходное уравнение и убедится что пара подходит.