При каких значениях х и у выражение (х+2 у+1) ² + (х+2 у-3) ²+5 принимает наименьшее значение?

Сумма квадратов двух выражений принимает минимальное значение когда каждое из них одновременно равно 0.

(х+у+1) ² = 0 и (х + 2 у - 3) ² = 0

х+у + 1 = 0

х + 2 у - 3 = 0 вычтем из второго первое уравнение

у - 4 = 0, то есть у = 4,

подставим у = 4 в первое уравнение

х + 4 + 1 = 0, то есть х = - 5, значит выражение принимает наименьшее значение равное 5, при х = - 5, у = 4