На доске написано 2013 нулей, единиц 2014 и 2015 двоек. За один шаг разрешается стереть любые две различные цифры и вместо них записать третью по следующему правилу: вместо нуля и единицы записывается цифра 2, вместо нуля и двойки - единица, вместо единицы и двойки - ноль. После многократного выполнения такой операции на доске осталась одна цифра. Какая именно?

Ответ: 1

так как его четность отлична от 0 и 2

То есть количество 1 четно, а количество 0 и 2 нечетно.

Например

1) если в начальный момент убрать 0 и 1 но добавить 2

получаем четное 0 (2012) и 2 (2016), а 1 нечетно (2013)

2) если в начальный момент убрать 0 и 2 но добавить 1

получаем четное 0 (2012) и 2 (2014), а 1 нечетно (2015)

3) если в начальный момент убрать 1 и 2 но добавить 0

получаем четное 0 (2014) и 2 (2014), а 1 нечетно (2013)

и так далее, значит четность единицы всегда будет отлична от других.

Поэтому только она одна может остаться одна когда два других будут равны нулю.