Докажите, что 2222 в степени 5555 + 5555 в степени 2222 будет делится на 7.

Так как 2222=317*7+3,

5555=793*7+4

то число 2222 в степени 5555 дает тот же остаток при делении на 7, что и число 3 в степени 5555,

число 3 в степени 5555 дает такой же остаток как и число 3 в степени 4=81, т. е. остаток 4 (81=11*7+4)

5555=793*7+4, то число 5555 в степени 2222 дает такой же остаток при делении на 7 как и число 4 в степени 2222,

число 4 в степени 2222 дает такой же остаток при делении на 7 как и число 4 в степени 3=64, т. е. дает остаток 3 (64=9*7+3),

а значит данное число дает такой же остаток как и число 3+4=7, т ... е дает остаток 0, а значит данное число делится на 7 нацело. Доказано

2222^5555+5555^2222=2222^5555 + (7777-2222) ^2222

Остаток будет в числе 2222^5555+2222^2222 = (317*7+3) ^5555 + (317*7+3) ^2222

Остаток будет в числе 3^5555+3^2222 = (728+1) ^925 * 3^5 + (728+1) ^370 * 3^2

Остаток будет в числе 3^5+3^2=252

252/7=36. Остатка нет.

Значит 2222 в степени 5555 + 5555 в степени 2222 будет делится на 7.