Вычислите sin⁡2α, если sin⁡α-cos⁡α=1/5

Sin a - cosa = 1/5,

знаем, что cos a = √ (1-sin²a), подставим это в исходное выражение

sina - √ (1-sin²a) = 1/5

sin a - 1/5 = √ (1-sin²a)

возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от знака корня

(sin a - 1/5) ² = (√1-sin²a) ²

sin² a - 2/5sina + 1/25 = 1-sin²a

sin² a - 2/5sina + 1/25 - 1+sin²a = 0

2sin² a - 2/5sina - 24/25 = 0, разделим на 2

sin² a - 1/5sina - 12/25 = 0

пусть sin a = x, тогда

x² - 1/5x - 12/25 = 0

D = 1/25 + 48/25 = 49/25

x₁ = - 0.6

x₂ = 0,8

сделаем обратную замену

sina = - 0.6, тогда cos a=√1-0.36=0.8, но - 0,6-0,8 ≠1/5, значит не подходит

sin a=0.8, тогда cosa = √1-0.64 = 0.6 и 0,8-0,6 = 0,2 = 1/5

тогда sin 2a = 2sina cosa = 2*0,6*0,8 = 0,96