Найди все двухзначные числа, которые больше своей последней цифры во столько раз, во сколько раз последняя цифра больше единицы

ответ и

Пусть искомые двузначные числа А имеют следующую запись = 'ab' = 10a+b

где а - число десятков, b - число единиц.

b больше 1 в b раз (т. к b/1=b)

значит:

'ab'/b=b

'ab'=b^2

10a+b=b^2

b^2-b-10a=0

D=1+40a

b1 = (1+sqrt (1+40a)) / 2

b2 = (1-sqrt (1+40a)) / 2 - не подходит, т. к. выражение меньше 0, а число единиц отрицательным быть не может (т. к. sqrt (1+40a) >1 при всех а от 0 до 9)

Значит:

b = (1+sqrt (1+40a)) / 2

т. к. b - целое (по определению), то: (1+sqrt (1+40a)) / 2 - тоже целое, тогда

1+sqrt (1+40a) - целое, кратное 2, значит sqrt (1+40a) - целое, значит 1+40a - полный квадрат:

1+40 а является полным квадратом, только при а = 2; 3; 9

1) a=2; b = (1+sqrt (81)) / 2 = (1+9) / 2=5 'ab'=25

2) a=3; b = (1+sqrt (121)) / 2 = (1+11) / 2=6 'ab'=36

3) a=9; b = (1+sqrt (361)) / 2=20/2=10 - не подходит, т. к. 0≤b≤9

Ответ: 25, 36