Найдите наименьшее натуральное число n, при котором число (n^2+n) (n^2+5n+6) делится на 2000

Разложим на множители левую часть

(n²+n) (n²+5n+6) = n (n+1) (n+2) (n+3)

число 2000=2·1000=2·100·10 = 2·2·2·2·5·5·5

значит мы должны иметь в произведении три пятерки и четыре двойки

n=5·5·5=125 - наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию

n+1=126=2·53 - одна двойка

n+3=125+3=128=2⁷ - для выполнения условия двоек даже с избытком.

Ответ n=125