Известно, что сумма и произведение 2011 чисел равно 0. Сказано, что каждое из этих чисел не больше числа 2011. Между числами нужно поставить знаки плюс или минус, так чтобы сумма их была наименьшей.

Если сумма 2011 чисел равна 0, то причем здесь знаки + / -, чтобы сумма чисел была наименьшая?

Может правильное условие задачи такое: "Известно, что сумма и произведение 2011 чисел, каждое из которых по абсолютной величине не превосходит 2011, равны нулю. Какое максимальное значение может принимать сумма квадратов этих чисел?"

Тогда вот решение:

В условии не сказано, что все числа должны быть разные.

Так как произведение равно 0, то хотя бы одно число равно 0. Сумма квадратов этих чисел будет иметь максимальное значение, если из остальных 2010 чисел половина (2010:2=1005) будут равны 2011, а другие 1005 чисел будут равняться - 2011.

Таким образом сумма квадратов этих чисел будет равна

0^2 + (2011^2) * 1005 + ((-2011) ^2*1005)

Так как 2011^2 = (-2011) ^2=4044121, то

0^2 + (2011^2) * 1005 + ((-2011) ^2*1005) = 0+4044121*2010=8128683210