8sin^2x+sinxcosx+21cos^2x=4

Представим 4, как 4 * 1 = 4 (sin² x + cos²x), затем подставим, раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

8sin²x + sinx cos x + cos²x - 4 (sin² x + cos²x) = 0

8sin²x + sinx cos x + cos²x - 4sin²x - 4cos²x = 0

4sin²x + sin x cos x - 3cos²x = 0

Данное уравнение является однородным уравнением второй степени. Для его решения разделим всё уравнение на cos²x. действительно, мы можем разделить на него, поскольку если бы cos²x был бы равен 0, то при подставновке его в уравнение получили бы:

4sin²x + 0 - 0 = 0

sin²x = 0 - но и синус и косинус не могут быть одновременно равны нулю по основному тригонометрическому тождеству. Получили противоречие, значит, мы имеем право разделить на это выражение. Получаем:

4tg²x + tg x - 3 = 0

Теперь пусть tg x = t, тoгда

4t² + t - 3 = 0

D = 1 + 48 = 49

t1 = (-1 - 7) / 8 = - 8/8 = - 1

t2 = (-1+7) / 8 = 6/8 = 3/4

Приходим к совокупности уравнений:

tg x = - 1 или tg x = 3/4

x = - π/4 + πn, n∈Z x = arctg 3/4 + πk, k∈Z

Ответ: - π/4 + πn, n∈Z; arctg 3/4 + πk, k∈Z