При каком, выраженном через a и b, значении m выражение x (x+a) (x+2b) (x+a+2b) + m^2 будет полным квадратом?

Разобъем произведение на две части и посчитаем каждую из них:

х (x+a+2b) = x^2 + ax + 2bx.

(x+a) (x+2b) = x^2 + ax + 2bx + 2ab.

Обозначим: x^2 + ax + 2bx = t.

Тогда исходное выражение примет вид:

t (t + 2ab) + m^2 = t^2 + 2abt + m^2.

Данное выражение будет квадратом суммы при m = ab.

Ответ: m = ab.