X^5+x+1

Нужно разложить на множители

Предположим, что он раскладывается на

(x^2 + Ax + 1) (x^3 + Bx^2 + Cx + 1) =

= x^5 + Ax^4 + x^3 + Bx^4 + ABx^3 + Bx^2 + Cx^3 + ACx^2 + Cx + x^2 + Ax + 1 =

= x^5 + x^4 * (A + B) + x^3 * (1 + AB + C) + x^2 * (B + AC + 1) + x (A + C) + 1 =

= x^5 + x + 1

Коэффициенты при одинаковых степенях должны быть равны

{ A + B = 0 | x^4

{ 1 + AB + C = 0 | x^3

{ 1 + AC + B = 0 | x^2

{ A + C = 1 | x

Делаем подстановки

{ B = - A

{ C = 1 - A

{ 1 + A * (-A) + 1 - A = 0

{ 1 + A * (1 - A) - A = 0

Из двух последних уравнений получаем

{ A^2 + A - 2 = 0; A1 = 1; A2 = - 2

{ 1 - A^2 = 0; A1 = 1; A2 = - 1

Общее решение этих уравнений:

A = 1, отсюда B = - 1, C = 1 - A = 0

x^5 + x + 1 = (x^2 + x + 1) (x^3 - x^2 + 1)