С помощью метода математической индукции решить 1/1!+1/2!+1/3! + ... + 1/n!3

1) n = 4

1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! = 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 = 41/24 < (8-1) / 4 = 7/4 = 42/24 - верно

2) n = k

1/1! + 1/2! + ... + 1/k! < (2k-1) / k

3) n = k + 1

1/1! + 1/2! + ... + 1/k! + 1 / (k+1) ! < (2k-1) / k + 1 / (k (k+1)) = ((2k-1) (k+1) + 1) / (k (k+1)) = (2k² - k + 2k - 1 + 1) / (k (k+1)) = k (2k+1) / (k (k+1)) = (2k+1) / (k+1)

значит:

1/1! + 1/2! + ... + 1/k! + 1 / (k+1) ! < (2k+1) / (k+1)

по ММИ доказано.