Квадратный трехчлен f (x) = x^2 + px + q имеет два различных целых корня один из корней трехчлена и его значение в точке x=11 являются простыми числами найдите корни трехчлена

Пусть p1>0 один из его простых корней, x2 его 2 целый корень, p2>0 его значение

F (11) тогда для него верно разложение из теоремы виета

y=x^2 - (p1+x2) x+p1x2 = (x-p1) (x-x2)

Откуда

F (11) = (11-p1) (11-x2) = p2

Тк число p2 простое, то оно делится только на 1 и само себя откуда возможно 4 варианта:

1) 11-p1=1 p1=10 неверно тк 10 число не простое

11-x2=p2

2) 11-p1=p2

11-x2=1

x2=10

11=p1+p2

Сумма 2 чисел является нечетной, только когда 1 из них является четным, но тогда одно из этих чисел равно 2, а другое 9, что невозможно тк число 9 не является простым.

3) 11-p1=-1 p1=12 число 12 не простое то есть не подходит

11-x2=-p2

4) И наконец последний случай:

11-p1=-p2

11-x2=-1

x2=12

p1-p2=11

Разность 2 чисел нечетна, только когда 1 из них четно, а значит 1 из чисел равно 2, тк это единственное четное простое число.

тогда p1=13 p2=2. что верно тк 13 число простое

Тогда наши корни: x1=12 x2=13

А наше уравнение

x^2-25x+156

Ответ:x1=12; x2=13 F (11) = 2