докажите что любую сумму из целого числа рублей большую семи можно уплатить купюрами в 3 и 5 руб без сдачи

По индукции.

База: 8 = 5 + 3 можно.

Переход. Пусть k рублей можно. Докажем, что и k + 1 можно.

- Если k можно уплатить так, что среди купюр есть 5 рублей - убираем 5 рублей, добавляем 3 + 3 = 6 рублей.

- Если k можно уплатить только трехрублевками, то трехрублевок не менее 3 (минимальная сумма не меньше 8, которую можно оплатить 3-рублевками, равна 9). Тогда меняем 3 + 3 + 3 = 9 на 5 + 5 = 10.

Переход доказан.