Существует ли такой квадратный трехчлен f (x), для которого при всех значениях х выполнено неравенство f (x) ≤ f (x 2) ?

Предположим, что такой квадратный трехчлен существует: f (x) = ax2+bx+c, a≠0, и f (x) ≤f (x2). Имеем ax2+bx+c ≤ ax4+bx2+c при всех x, т. е. ax4-ax2+bx2-bx ≥0, ax2 (x2-1) + bx (x-1) ≥0, и далее x (x-1) (ax (x+1) + b) ≥0, x (x-1) (ax2+ax+b) ≥0 при всех x. Утверждается, что трехчлен q (x) = ax2+ax+b имеет корни х=0 и х=1. Если бы, например, q (0) ≠0, то в малой окрестности точки 0 трехчлен q (x) имел бы знак числа q (0), в то время как выражение x (x-1) меняет знак припереходе аргумента х через 0 и, следовательно, произведение x (x-1) q (x) меняет знак, что делает невозможным выполнение неравенства x (x-1) q (x) ≥0. Аналогично, q (1) = 0. Но q (x) = b, q (1) = 2a+b. Значит, b=0, a=0. Получено противоречие (ведь a≠0). Ответ: не существует.