2. Найти и классифицировать локальные экстремумы функции z = 2x2 + y2 + 2xy + 4x + 2y:

варианты ответов: 1. x = 3, y = 4, min2. x = 3, y = 4, max3. x = - 1, y=0, max 4. x = - 1, y = 0, min

Z = 2x^2 + y^2 + 2xy + 4x + 2y

Необходимое условие экстремума:

{ dz/dx = 4x + 2y + 4 = 0

{ dz/dy = 2y + 2x + 2 = 0

Решаем систему. 1 уравнение делим на 2, 2 уравнение умножаем на - 1.

{ 2x + y + 2 = 0

{ - 2x - 2y - 2 = 0

Складываем уравнения

-y = 0; y = 0; x = - 1

z (-1; 0) = 2*1 + 0 + 0 - 4 + 0 = - 2

Достаточное условие экстремума

A = d2z/dx^2 = 4 > 0

B = d2z / (dxdy) = 2

C = d2z/dy^2 = 2

D = AC - B^2 = 4*2 - 2^2 = 8 - 4 = 4 > 0

Так как D > 0, A < 0 - это точка максимума.

Если бы D > 0, A > 0 - это была бы точка минимума

Если бы D < 0 - это был бы вообще не экстремум.

Ответ: 3. x = - 1; y = 0, max