В некотором сосуде 10 л воды а второй пустой. из первого сосуда переливают половину имеющейся в нем воды во второй, затем из второго переливают 1/3 часть воды в первый сосуд, затем из первого переливают 1/4 часть воды во второй, потом 1/5 часть воды и так далее. какое количество воды будет в первом сосуде после 2017-го переливания?

Заметим, что на каждом нечетном переливании мы выливаем из первого сосуда часть воды во второй, а на каждом четном - добавляем часть воды из второго сосуда в первый.

Докажем по индукции, что после каждого нечетного переливания в первом сосуде будет половина всей воды, т. е. 5 литров.

После первого переливания, это так.

Пусть после очередного нечетного переливания у нас в первом сосуде оказалось 5 л. и во втором, соответственно, тоже 5 л. Тогда следующим переливанием (оно имеет четный номер) мы какую-то часть (пусть 1/k - ую) переливаем из второго сосуда в первый, т. е. в первом станет 5+5/k=5 (1+1/k). Значит следующим (нечетным) переливанием мы во второй сосуд выливаем из первого 1 / (k+1) часть, т. е. в первом останется

5 (1+1/k) - 5 (1+1/k) / (k+1) = 5 (1+1/k) (1-1 / (k+1)) = 5 * (k+1) / k * k / (k + 1) = 5.

Таким образом, каждые 2 переливания начиная с 1-го оставляют в каждом сосуде по 5 литров. Значит и после 2017-го переливания, т. к. оно имеет нечетный номер, в первом сосуде будет 5 литров.