В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит один из катетов на отрезки длиной 6 дм и 10 дм, считая от вершины прямого угла. Найти периметр треугольнике.

Обозначим углы треугольника А, В, С, где С - прямой угол.

Пусть Е, К, М точки касания вписанной окружности сторон АВ, ВС и АС соответственно.

Пусть СК=6, АК=10.

Как известно, касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны.

Поэтому СМ=СК=6, АЕ=АК=10. Обозначим ВМ=ВЕ=х.

По теореме Пифагора

АС^2+BC^2=AB^2;

(10+6) ^2 + (6+x) ^2 = (10+x) ^2;

256+x^2+12x+36=x^2+20x+100;

8x=156;

x=19,5.

Периметр треугольника равен:

P=AC+BC+AB = AK+CK+CM+BM+AE+BE = 10+6+6+19,5+10+19,5 =

71 (дм).