В квадрате 110 * 110 закрашено несколько клеток. В каждой строчке есть либо 1, либо 7 закрашенных клеток, а в каждом столбце есть либо 3, либо 4 закрашенных клетки. Какое наименьшее число клеток может быть закрашено?

Все-таки напишу решение.

Если в каждом столбце по 3 закрашенных клетки, то всего 3*110=330 закрашенных клеток.

Если в каждом столбце по 4 закрашенных клетки, то всего 4*110=440 закрашенных клеток.

Значит, количество клеток 330 < = N < = 440.

Пусть будет a столбцов по 4 клетки и b столбцов по 3 клетки.

4a + 3b = N

a + b = 110; b = 110 - a

А по строкам пусть x строк по 7 клеток и y строк по 1 клетке.

7x + y = N

x + y = 110; y = 110 - x

Получаем такое уравнение с 2 неизвестными:

4a + 3 (110 - a) = 7x + 110 - x = N - - > min

4a + 330 - 3a = 6x + 110

a + 220 = 6x

Наименьшее решение:

x = 37, потому что 37*6 = 222 - наименьшее кратное 6, больше 220

Тогда а = 6x - 220 = 222 - 220 = 2, b = 110 - 2 = 108; y = 110 - 37 = 73.

N = 4a + 3b = 4*2 + 3*108 = 7x + y = 7*37 + 73 = 332

Ответ: N = 332

Закрашено всего 394 клетки, это 44 строки по 7 и 86 строк по 1 клетке, или 4 столбца по 4 и 126 столбцов по 3 клетки.