Вася сложил большой куб из маленьких одинаковых кубиков и покрасил некоторые грани большого куба. Потом он разобрал большой куб на маленькие кубики, и оказалось, что 45 из них не имеют ни одной покрашенной грани. сколько граней большого куба покрасил Вася?

А-2

Б-3

В-4

Г-5

Д-6

Так как размер куба неизвестен, то попробуем его оценить.

Для куба 3 х3 х3 общее число кубиков 3³=27 - меньше, чем в данной ситуации осталось незакрашенных - этот куб мал.

Куб 4 х4 х4 имеет 4³=64 кубиков, из них как минимум (4-2) ³=8 не закрашены.

Куб 5 х5 х5 имеет 5³=125 кубиков, из них как минимум (5-2) ³=27 не закрашены.

Куб 6 х6 х6 имеет 6³=216 кубиков, из них как минимум (6-2) ³=64 не закрашены. Но у нас в наличии только 45 кубиков. Значит этот куб велик.

Вывод: красили куб размером 4 х4 х4 или 5 х5 х5.

Предположим, что в наличии был куб 4 х4 х4:

(2) для двух закрашенных граней возможны две ситуации:

(2.1) закрасили две смежные грани, тогда закрашено 8 центральных, 14 реберных и 6 угловых кубиков, то есть всего 28 кубиков, тогда не закрашено 36 кубиков

(2.2) закрасили две противоположные грани, тогда закрашено 8 центральных, 16 реберных и 8 угловых кубиков, то есть всего 32 кубика, тогда не закрашено также 32 кубика

Оба этих варианта дают результат, меньший чем 45 незакрашенных кубиков. Если закрасить еще большее число граней, то незакрашенных кубиков останется еще меньше. Значит, это был не куб 4 х4 х4.

Проверяем куб 5 х5 х5:

(2) для двух закрашенных граней по-прежнему есть две ситуации:

(2.1) закрасили две смежные грани, тогда закрашено 18 центральных, 21 реберных и 6 угловых кубиков, то есть всего 45 кубиков, тогда не закрашено 80 кубиков

(2.2) закрасили две противоположные грани, тогда закрашено 18 центральных, 24 реберных и 8 угловых кубиков, то есть всего 50 кубиков, тогда не закрашено 75 кубиков

(3) для трех закрашенных граней также есть две ситуации:

(3.1) закрасили три грани, среди которых нет противоположных, тогда к ситуации (2.1) добавятся 9 центральных, 6 реберных и 1 угловой кубик, то есть всего 45+9+6+1=61 кубик закрашен, тогда не закрашено 64 кубика

(2.2) закрасили три грани, среди которых есть пара противоположных, тогда к ситуации (2.2) добавятся 9 центральных, 9 реберных и 2 угловых кубика, то есть всего 50+9+9+2=70 кубиков закрашено, тогда не закрашено 55 кубиков

(4) для четырех закрашенных граней есть две ситуации:

(4.1) не закрасили две смежные грани, то есть 18 центральных, 21 реберных и 6 угловых кубиков, то есть всего 45 кубиков - подходящий случай

(4.2) не закрасили две противоположные грани, то есть 18 центральных, 24 реберных и 8 угловых кубиков, то есть всего 50 кубиков

Один из случаев для 4 закрашенных граней удовлетворяет условию.

Ответ: 4 грани