Решите уравнение cos (П/2-x) - sin3x+sin5x=0

Sin 3x + Sin 5x = 2 (Cos² 2x - Sin² 3x)

Для левой части ур-ия применим формулу суммы синусов:

Sin x + Sin y = 2Sin ((x + y) / 2) · Cos ((x - y) / 2)

А для правой части формулы понижения степени:

Cos² x = (1 + Cos 2x) / 2

Sin² x = (1 - Cos 2x) / 2

То есть:

2Sin 4x · Cos x = 2 · ((1 + Cos 4x) / 2 - (1 - Cos 6x) / 2))

2Sin 4x · Cos x = 1 + Cos 4x - 1 + Cos 6x

2Sin 4x · Cos x = Cos 4x + Cos 6x

Для правой части ур-ия применим формулу суммы косинусов:

Cos x + Cos y = 2Cos ((x + y) / 2) · Cos ((x - y) / 2)

2Sin 4x · Cos x = 2Cos 5x * Cos x

2Sin 4x · Cos x - 2Cos 5x * Cos x = 0

Выносим общий множитель 2Cos x:

2Cos x · (Sin 4x - Cos 5x) = 0

Отсюда:

Cos x = 0 ⇒ x = ±π/2 + 2πk, k - целое

Sin 4x - Cos 5x = 0

Cos (π/2 - 4x) - Cos (5x) = 0

Применяем формулу разности косинусов:

Cos x - Cos y = - 2Sin ((x + y) / 2) · Sin ((x - y) / 2)

То есть:

-2Sin ((π/2 + x) / 2) · Sin ((π/2 - 9x) / 2) = 0

1) Sin ((π/2 + x) / 2) = 0

(π/2 + x) / 2 = πk

π/2 + x = 2πk

x = - π/2 + 2πk

2) Sin ((π/2 - 9x) / 2) = 0

(π/2 - 9x) / 2 = πk

π/2 - 9x = 2πk

9x = π/2 - 2πk

x = π/18 - 2π / (9k)

Ответ:

x = ±π/2 + 2πk, k - целое

x = π/18 - 2π / (9k)