1+3+5 + ... + (2n-1) = n²

применя я метод математической индукции докажите что для любого n. n∈N*. истинно высказывание

1) Проверяем правильность утверждения при малых n.

n=1: 1=1² - верно

n=2: 1+3=2² - верно

n=3: 1+3+5=3² - верно

2) Предположим, что утверждение верно для n=k.

Тогда справедливо равенство 1+3+5 + ... + (2k-1) = k².

3) Докажем, что утверждение верно и для n=k+1.

Слева и справа добавим по 2 (k+1) - 1:

Получим 1+3+5 + ... + (2k-1) + (2 (k+1) - 1) = k²+2 (k+1) - 1

Преобразуем правую часть.

k²+2 (k+1) - 1=k²+2k+1 = (k+1) ².

Таким образом, из того, что 1+3+5 + ... + (2k-1) = k², следует то, что

1+3+5 + ... + (2k-1) + (2 (k+1) - 1) = (k+1) ² - верно для n=k+1.