Найдите все возможные пары чисел (x; y) удовлетворяющих условию 1/x+1/y=1/2017

(1/x) + (1/y) = 1/2017,

(y+x) / (xy) = 1/2017,

x и y натуральные,

2017 * (x+y) = xy,

x*y - 2017 * (x+y) = 0;

x*y - 2017x - 2017y = 0;

добавим к обеим частям уравнения (2017*2017),

x*y - 2017x - 2017y + 2017*2017 = 2017*2017,

(x - 2017) * (y - 2017) = 2017*2017,

если x и y - натуральные, то (x-2017) и (y-2017) - целые.

Найдем делители у 2017. Если у натурального числа n есть простые делители, то один из них содержится среди натуральных чисел

от 1 до (√n).

√ (2017) ≈ 44,9

Нужно перебрать все простые числа от 2 до 44 (проверяя делится ли 2017 на это простое число нацело). Убеждаемся, что таких делителей у 2017 нет. Это значит, что 2017 - простое число.

Поэтому число (2017*2017) с учетом порядка можно разложить на целые множители только следующими способами:

2017*2017 = 1*2017² = 2017²*1 = 2017*2017 =

= (-1) * (-2017²) = (-2017²) * (-1) = (-2017) * (-2017)

То есть шесть случаев.

1) x - 2017 = 1 и y-2017 = 2017²

x = 1+2017 = 2018, и y = 2017² + 2017 = 4070306.

2) x - 2017 = 2017² и y-2017 = 1;

x = 2017² + 2017 = 4070306 и y = 1+2017 = 2018.

3) x - 2017 = 2017 и y-2017 = 2017,

x = 2017+2017 = 4034 и y = 2017+2017 = 4034.

4) x - 2017 = - 1 и y-2017 = - 2017², но отсюда видно, что

y = 2017 - 2017² < 0 и поэтому y не является натуральным в этом случае и поэтому случай 4) не годится.

5) в этом случае x будет ненатуральным и этот случай тоже не годится.

6) x - 2017 = - 2017 и y - 2017 = - 2017,

x = 0 и y = 0. Оба не натуральные и поэтому этот случай не годится.

Ответ. { (x; y) : (2018; 4070306), (4070306; 2018), (4034; 4034) }.