Разность куба и квадрата натурального числа N может оканчиватся на 2?

Не может.

N^3-N^2=N^2 (N-1)

Дальше можно просто перебрать варианты окончания чисел:

1) если N заканч. 0, то N^2 тоже 0, и N^2 (N-1) тоже оканч. 0

2) N заканч. 1, N^2 тоже 1, (N-1) оканч. 0, произвед. тоже заканч. 0

3) N заканч. 2, N^2 - 4, (N-1) оканч. 1, произвед. 4

4) N заканч. 3, N^2 - 9, (N-1) оканч. 2, произвед. 8

5) N заканч. 4, N^2 - 6, (N-1) оканч. 3, произвед. 8

6) N заканч. 5, N^2 - 5, (N-1) оканч. 4, произвед. 0

7) N заканч. 6, N^2 - 6, (N-1) оканч. 5, произвед. 0

8) N заканч. 7, N^2 - 9, (N-1) оканч. 6, произвед. 4

9) N заканч. 8, N^2 - 4, (N-1) оканч. 7, произвед. 8

10) N заканч. 9, N^2 - 1, (N-1) оканч. 8, произвед. 8