Произведение пятого и шестого членов арифметической прогрессии в 33 раза больше произведения ее первого и второго членов.

Во сколько раз пятый член прогрессии больше второго, если известно, что все члены прогрессии положительны?

Выразим всё через первый член a и знаменатель d:

a1 = a

a2 = a + d

a5 = a + 4d

a6 = a + 5d

По условию a5 * a6 = 33 a1 * a2:

(a + 4d) (a + 5d) = 33 a (a + d)

a^2 + 9ad + 20d^2 = 33a^2 + 33ad

32 a^2 + 24 ad - 20 d^2 =.0

8 a^2 + 6 ad - 5 d^2 = 0

Пусть d = an, n > 0, так как a и d положительны. Подставляем в уравнение и сокращаем всё на - a^2:

5n^2 - 6n - 8 = 0

D/4 = 3^2 + 8 * 5 = 9 + 40 = 49 = 7^2

n = (3 + 7) / 5 = 2 (оставили только положительный корень)

Итак, d = 2a. Поэтому a2 = a + d = 3a, a5 = a + 4d = 9a и a5 / a2 = 3.

Ответ. 3.