Y''-4y'+4y=8x^2-10 y (0) = 0; y' (0) = 1

Сначала ищем общее решение однородного уравнения. Составим характеристическое ур-ие:

k^2 - 4k + 4 = 0, (k-2) ^2 = 0, k1 = k2 = 2.

Общее решение однородного ур-ия: у (о. о) = (C1 + C2x) e^2x.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:

У = Аx^2 + Bx + C.

Подставим в исходное уравнение:

2A - 8Ax - 4B + 4Ax^2 + 4Bx + 4C = 8x^2 - 10

Составим систему для коэффициентов А, В, С:

4 А = 8;

4 В - 8 А = 0;

2 А - 4 В + 4 С = - 10.

Или:

А = 2;

В = 4;

С = 1/2.

Значит частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

у (ч. н) = 2x^2 + 4x + 1/2.

Общее решение неоднородного уравнения равно сумме у (о. о) и у (ч. н):

у = (C1 + C2x) e^2x + 2x^2 + 4x + 1/2.

Теперь исходя из начальных условий найдем С1 и С2:

у (0) = С1 + 1/2 = 0, или С1 = - 1/2.

у штрих (0) = 2 С1 + С2 + 4 = 1, или С2 = - 2.

С учетом найденного ответ будет равен:

у = - (0,5 + 2 х) e^2x + 2x^2 + 4x + 0,5.