На доске написано 10 чисел. Оказалось, что сумма любых пяти из написанных чисел положительна. Какое наибольшее количество чисел на доске может быть отрицательными?

Максимум может быть 4 отрицательных числа, т. к. если бы чисел было бы 5, то сумма уже в любом случае была отрицательной, но если отрицательных числа 4, а положительное число больше модуля суммы этих четырёх (оставшиеся пять чисел кстати тоже положительны и больше модуля суммы этих 4 отрицательных), то сумма всех этих пяти будет положительной.