1. На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6,8,10. Радиус шара 13. Найдите расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через эти три точки. Ответ: 12.

2. Через конец радиуса шара под углом в 60 градусов к радиусу проведено сечение шара, имеющее площадь 16 пи. Найдите объем шара. Ответ: 2048 пи/3

3. Внешний диаметр полого шара 18. Толщина стенок 3. Найдите объем материала, из которого сделан шар. Ответ: 684 пи

4. Все стороны квадрата касаются сферы диаметром 50, сторона квадрата равна 14. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости квадрата. Ответ: 24.

5. Линия пересечения сферы и плоскости, удаленной от центра сферы на 8, имеет длину 12 пи. Найдите площадь поверхности сферы. Ответ: 400 пи

1. Проведем через эти три точки плоскость. Она отсекает от шара круг, в который вписан треугольник, образованный этими точками. Треугольник прямоугольный, тогда радиус описанного около него круга равен 5. Отрезок, соединяющий центр шара и центр этого круга, перпендикулярен плоскости круга. Тогда его длину можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника - гипотенуза равна 13, а один из катетов - 5, тогда другой катет равен 12.

2. Проведем сечение, проходящее через центр шара. В сечении получим круг и вписанный в него прямоугольный треугольник (так как одна из сторон - диаметр), причем сторона, лежащая против угла в 30 градусов является диаметром круга, площадь которого равна 16 пи. Тогда этот диаметр равен 8, радиус шара также равен 8, а объем находим по формуле V=4/3pi*R^3.

3. Полость представляет собой шар с радиусом 6, а у данного шара радиус 9. Чтобы найти объем материала, нужно найти разность объемов этих двух шаров. Находится она по формуле, указанной выше.

4. Квадрат описан около окружности, которая является одним из сечений сферы. Ее радиус равен половине стороны квадрата и равен 7. Расстояние от центра сферы до плоскости квадрата находится по теореме Пифагора, один катет равен 7, а гипотенуза равна 25 (радиусу сферы). Здесь отрезок, соединяющий центр сферы и центр окружности, вписанной в квадрат, перпендикулярен плоскости квадрата, и потому является искомым расстоянием.

5. Через диаметр сферы проведем произвольное сечение. В сечении получим окружность и отрезок, отстоящий от центра на 8. Линия пересечения из условия будет являться окружностью, радиус которой равен 6. Тогда, по теореме Пифагора, радиус сферы будет равен 10, теперь осталось только найти площадь поверхности по формуле.

Если в решениях есть ошибки, напишите в личку, исправлю.