На столе лежит 90 монет. Из них 45 монет лежат орлам вверх, а 45 решкой вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые четыре монеты. Можно ли, повторяя эту операцию добиться того, что бы все монеты лежали орлом вверх

Нельзя.

Сопоставим монете, лежащей орлом вверх, число + 1, а монете, лежащей решкой вверх, число - 1. Тогда переворачивание монеты равносильно умножению на (-1) числа, сопоставленного этой монете.

Рассмотрим произведение чисел, сопоставленных монетам. В исходном состоянии оно равно (-1) ^45 * (+1) ^45 = - 1, в конечном должно быть (+1) ^90 = 1. Но переворачивание четырёх монет приводит к умножению произведения на (-1) ^4 = 1, то есть при данной операции произведение измениться не может, и любое количество переворачиваний не могут сделать из минус единицы единицу. Поэтому путём переворачивания четырёх монет добиться того, чтобы все монеты лежали орлом вверх, нельзя.