Даны координаты точек а (2; 3; 1) б (4; 1; -2) с (6;; 3; 7) д (-5; -4; 8)

Найти

1) вектор аб умноженный на вектор сд

2) длину вектора аб

3) площадь триугольника абс

4) вектор аб x вектор ас

5) объем перамиды абсд

Даны координаты точек: а (2; 3; 1) б (4; 1; -2) с (6; 3; 7) д (-5; -4; 8).

Находим координаты векторов.

аб = (4-2=2; 1-3=-2; - 2-1=-3) = (2; - 2; - 3).

ас = (6-2=4; 3-3=0; 7-1=6) = (4; 0; 6).

сд = (-5-6=-11; - 4-3=-7; 8-7=1) = (-11; - 7; 1).

Длины (модули) векторов равны:

2) аб = √ (2² + (-2) ² + (-3) ²) = √ (4+4+9) = √17.

ас = √ (4²+0²+6²) = √ (16+36) = √52.

сд = √ ((-11) ² + (-7) ²+1²) = √ (121+49+1) = √171.

1) Векторное произведение абхсд =

= {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx} =

= (-2-21=-23, 33-2=31, - 14-22=-36) = (-23; 31; - 36).

3. Площадь грани авс:

a1 a2 a3 S = ABC [AB; AC]

-12 - 24 8 14.

4. Векторное произведение абхас =

= {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx} =

= (-12-0=-12; - 12 - 12=-24; 0 - (-8) = 8) = (-12; - 24; 8).

Модуль абхас = 28.

5. Объем пирамиды равен:

(AB{x1, y1, z1}; AC{x2, y2, z2}; AD{x3, y3, z3}) = x3·a1+y3·a2+z3·a3. x y z

AB*AC - 12 - 24 8.

Находим определитель матрицы

∆ = 2 * (0*7 - (-7) * 6) - 4 * ((-2) * 7 - (-7) * (-3)) + (-7) * ((-2) * 6-0 * (-3)) = 308.

V = (1/6) * 308 = 51,3333333.